1. 材料力學中，計算穩定因數的內插法是什麼來的
16.1 壓桿穩定性的概念
在第二章中，曾討論過受壓桿件的強度問題，並且認為只要壓桿滿足了強度條件，就能保證其正常工作。但是，實踐與理論證明，這個結論僅對短粗的壓桿才是正確的，對細長壓桿不能應用上述結論，因為細長壓桿喪失工作能力的原因，不是因為強度不夠，而是由於出現了與強度問題截然不同的另一種破壞形式，這就是本章將要討論的壓桿穩定性問題。
當短粗桿受壓時(圖16-1a)，在壓力F由小逐漸增大的過程中，桿件始終保持原有的直線平衡形式，直到壓力F達到屈服強度載荷Fs (或抗壓強度載荷Fb)，桿件發生強度破壞時為止。但是，如果用相同的材料，做一根與圖16-1a所示的同樣粗細而比較長的桿件(圖16-1b)，當壓力F比較小時，這一較長的桿件尚能保持直線的平衡形式，而當壓力F逐漸增大至某—數值F1時，桿件將突然變彎，不再保持原有的直線平衡形式，因而喪失了承載能力。我們把受壓直桿突然變彎的現象，稱為喪失穩定或失穩。此時，F1可能遠小於Fs (或Fb)。可見，細長桿在尚未產生強度破壞時，就因失穩而破壞。
圖16－1
失穩現象並不限於壓桿，例如狹長的矩形截面梁，在橫向載荷作用下，會出現側向彎曲和繞軸線的扭轉(圖16-2)；受外壓作用的圓柱形薄殼，當外壓過大時，其形狀可能突然變成橢圓(圖16-3)；圓環形拱受徑向均布壓力時，也可能產生失穩(圖16-4)。本章中，我們只研究受壓桿件的穩定性。
圖16-3
所謂的穩定性是指桿件保持原有直線平衡形式的能力。實際上它是指平衡狀態的穩定性。我們藉助於剛性小球處於三種平衡狀態的情況來形象地加以說明。
第一種狀態，小球在凹面內的O點處於平衡狀態，如圖16-5a所示。先用外加干擾力使其偏離原有的平衡位置，然後再把干擾力去掉，小球能回到原來的平衡位置。因此，小球原有的平衡狀態是穩定平衡。
第二種狀態，小球在凸面上的O點處於平衡狀態，如圖16-5c所示。當用外加干擾力使其偏離原有的平衡位置後，小球將繼續下滾，不再回到原來的平衡位置。因此，小球原有的干衡狀態是不穩定平衡。
第三種狀態，小球在平面上的O點處於平衡狀態，如圖16-5b所示，當用外加干擾力使其偏離原有的平衡位置後，把干擾力去掉後，小球將在新的位置O1再次處於平衡，既沒有恢復原位的趨勢，也沒有繼續偏離的趨勢。因此。我們稱小球原有的平衡狀態為隨遇平衡。
圖16-5
圖16-6
通過上述分析可以認識到，為了判別原有平衡狀態的穩定性，必須使研究對象偏離其原有的平衡位置。因此。在研究壓桿穩定時，我們也用一微小橫向干擾力使處於直線平衡狀態的壓桿偏離原有的位置，如圖16-6a所示。當軸向壓力F由小變大的過程中，可以觀察到：
1)當壓力值F1較小時，給其一橫向干擾力，桿件偏離原來的平衡位置。若去掉橫向干擾力後，壓桿將在直線平衡位置左右擺動，最終將恢復到原來的直線平衡位置，如圖16-6b所示。所以，該桿原有直線平衡狀態是穩定平衡。
2)當壓力值F2超過其一限度Fcr時，平衡狀態的性質發生了質變。這時，只要有一輕微的橫向干擾，壓桿就會繼續彎曲，不再恢復原狀，如圖16-6d所示。因此，該桿原有直線平衡狀態是不穩定平衡。
3)界於前二者之間，存在著一種臨界狀態。當壓力值正好等於Fcr時，一旦去掉橫向干擾力，壓桿將在微彎狀態下達到新的平衡，既不恢復原狀，也不再繼續彎曲，如圖16-6c所示。因此，該桿原有直線平衡狀態是隨遇平衡，該狀態又稱為臨界狀態。
臨界狀態是桿件從穩定平衡向不穩定平衡轉化的極限狀態。壓桿處於臨界狀態時的軸向壓力稱為臨界力或臨界載荷，用Fcr表示。
由上述可知，壓桿的原有直線平衡狀態是否穩定，與所受軸向壓力大小有關。當軸向壓力達到臨界力時，壓桿即向失穩過渡。所以，對於壓桿穩定性的研究，關鍵在於確定壓桿的臨界力。
16.2 兩端鉸支細長壓桿的臨界力
圖16-7a為一兩端為球形鉸支的細長壓桿，現推導其臨界力公式。
圖16-7
根據前節的討論，軸向壓力到達臨界力時，壓桿的直線平衡狀態將由穩定轉變為不穩定。在微小橫向干擾力解除後，它將在微彎狀態下保持平衡。因此，可以認為能夠保持壓桿在微彎狀態下平衡的最小軸向壓力，即為臨界力。
選取坐標系如圖l6-7a所示，假想沿任意截面將壓桿截開，保留部分如圖16-7b所示。由保留部分的平衡得
(a)
在式(a)中，軸向壓力Fcr取絕對值。這樣，在圖示的坐標系中彎矩與撓度的符號總相反，故式(a)中加了一個負號。當桿內應力不超過材料比例極限時，根據撓曲線近似微分方程有
(b)
由於兩端是球鉸支座，它對端截面在任何方向的轉角都沒有限制。因而，桿件的微小彎曲變形一定發生於抗彎能力最弱的縱向平面內，所以上式中的I應該是橫截面的最小慣性矩。令
(c)
式（b）可改寫為
(d)
此微分方程的通解為
(e)
式中、為積分常數。由壓桿兩端鉸支這一邊界條件
， (f)
， (g)
將式(f)代入式(e)，得，於是
(h)
式(g)代入式(h)，有
(i)
在式(i)中，積分常數不能等於零，否則將使有，這意味著壓桿處於直線平衡狀態，與事先假設壓桿處於微彎狀態相矛盾，所以只能有
(j)
由式(j)解得
(k)
則
或
(l)
因為n可取0，1，2，…中任一個整數，所以式(1)表明，使壓桿保持曲線形態平衡的壓力，在理論上是多值的。而這些壓力中，使壓桿保持微小彎曲的最小壓力，才是臨界力。取n=0，沒有意義，只能取n=1。於是得兩端鉸支細長壓桿臨界力公式
(16-1)
式(16-1)又稱為歐拉公式。
在此臨界力作用下，，則式(h)可寫成
(m)
可見，兩端鉸支細長壓桿在臨界力作用下處於微彎狀態時的撓曲線是條半波正弦曲線。將代入式(m)，可得壓桿跨長中點處撓度，即壓桿的最大撓度
是任意微小位移值。之所以沒有一個確定值，是因為式(b)中採用了撓曲線的近似微分方程式。如果採用撓曲線的精確微分方程式，那麼值便可以確定。這時可得到最大撓度與壓力F之間的理論關系，如圖16-8的OAB曲線。此曲線表明，當壓力小於臨界力時, F與之間的關系是直線OA，說明壓桿一直保持直線平衡狀態。當壓力超過臨界力時，壓桿撓度急劇增加。
圖 16-8
在以上討論中，假設壓桿軸線是理想直線，壓力F是軸向壓力，壓桿材料均勻連續。這是一種理想情況，稱為理想壓桿。但工程實際中的壓桿並非如此。壓桿的軸線難以避免有一些初彎曲，壓力也無法保證沒有偏心，材料也經常有不均勻或存在缺陷的情況。實際壓桿的這些與理想壓桿不符的因素，就相當於作用在桿件上的壓力有一個微小的偏心距e。試驗結果表明，實際壓桿的F與的關系如圖16-8中的曲線OD表示，偏心距愈小，曲線OD愈靠近OAB。
16.3 不同桿端約束細長壓桿的臨界力
壓桿臨界力公式(16-1)是在兩端鉸支的情況下推導出來的。由推導過程可知，臨界力與約束有關。約束條件不同，壓桿的臨界力也不相同，即桿端的約束對臨界力有影響。但是，不論桿端具有怎樣的約束條件，都可以仿照兩端鉸支臨界力的推導方法求得其相應的臨界力計算公式，這里不詳細討論，僅用類比的方法導出幾種常見約束條件下壓桿的臨界力計算公式。
16.3.1 一端固定另一端自由細長壓桿的臨界力
圖16-9為—端固定另一端自由的壓桿。當壓桿處於臨界狀態時，它在曲線形式下保持平衡。將撓曲線AB對稱於固定端A向下延長，如圖中假想線所示。延長後撓曲線是一條半波正弦曲線，與本章第二節中兩端鉸支細長壓桿的撓曲線一樣。所以，對於—端固定另一端自由且長為的壓桿，其臨界力等於兩端鉸支長為的壓桿的臨界力，即
圖16-9 圖16-10 圖16-11
16.3.2兩端固定細長壓桿的臨界力
在這種桿端約束條件下，撓曲線如圖16-10所示。該曲線的兩個拐點C和D分別在距上、下端為處。居於中間的長度內，撓曲續是半波正弦曲線。所以，對於兩端固定且長為的壓桿，其臨界力等於兩端鉸支長為的壓桿的臨界力，即
16.3.3 一端固定另一端鉸支細長壓桿的臨界力
在這種桿端約束條件下，撓曲線形狀如圖16-11所示。在距鉸支端B為處，該曲線有一個拐點C。因此，在長度內，撓曲線是一條半波正弦曲線。所以，對於一端固定另一端鉸支且長為的壓桿，其臨界力等於兩端鉸支長為的壓桿的臨界力，即
綜上所述，只要引入相當長度的概念，將壓桿的實際長度轉化為相當長度，便可將任何桿端約束條件的臨界力統一寫
(16-2)
稱為歐拉公式的一般形式。由式(16-2)可見，桿端約束對臨界力的影響表現在系數上。稱為長度系數，為壓桿的相當長度，表示把長為的壓桿折算成兩端鉸支壓桿後的長度。幾種常見約束情況下的長度系數列入表16-1中。
表 16-1 壓桿的長度系數
壓桿的約束條件 長度系數
兩端鉸支
一端固定，另一端自由
兩端固定
一端固定，另一端鉸支 =1
=2
=1/2
≈0.7
表16-1中所列的只是幾種典型情況，實際問題中壓桿的約束情況可能更復雜，對於這些復雜約束的長度系數可以從有關設計手冊中查得。
16.4 歐拉公式的適用范圍 經驗公式
16.4.1 臨界應力和柔度
將式(16-2)的兩端同時除以壓桿橫截面面積A，得到的應力稱為壓桿的臨界應力，
(a)
引入截面的慣性半徑
(16-3)
將上式代入式(a)，得
若令
(16-4)
則有
(16-5)
式(16-5)就是計算壓桿臨界應力的公式，是歐拉公式的另一表達形式。式中，稱為壓桿的柔度或長細比，它集中反映了壓桿的長度、約束條件、截面尺寸和形狀等因素對臨界應力的影響。從式(16-5)可以看出，壓桿的臨界應力與柔度的平方成反比，柔度越大，則壓桿的臨界應力越低，壓桿越容易失穩。因此，在壓桿穩定問題中，柔度是一個很重要的參數。
16.4.2 歐拉公式的適用范圍
在推導歐拉公式時，曾使用了彎曲時撓曲線近似微分方程式，而這個方程是建立在材料服從虎克定律基礎上的。試驗已證實，當臨界應力不超過材樹比例極限時，由歐拉公式得到的理論曲線與試驗曲線十分相符，而當臨界應力超過時，兩條曲線隨著柔度減小相差得越來越大(如圖16-12所示)。這說明歐拉公式只有在臨界應力不超過材料比例極限時才適用，即
圖16-12
或 (b)
若用表示對應於臨界應力等於比例極限時的柔度值，則
（16-6）
僅與壓桿材料的彈性模量E和比例極限有關。例如，對於常用的Q235鋼，E＝200GPa，＝200MPa，代入式(16-6)，得
從以上分析可以看出：當時，，這時才能應用歐拉公式來計算壓桿的臨界力或臨界應力。滿足的壓桿稱為細長桿或大柔度桿。
16.4.3 中柔度壓桿的臨界應力公式
在工程中常用的壓桿，其柔度往往小於。實驗結果表明，這種壓桿喪失承載能力的原因仍然是失穩。但此時臨界應力已大於材料的比例極限，歐拉公式已不適用，這是超過材料比例極限壓桿的穩定問題。對於這類失穩問題，曾進行過許多理論和實驗研究工作，得出理論分析的結果。但工程中對這類壓桿的技算，一般使用以試驗結果為依據的經驗公式。在這里我們介紹兩種經常使用的經驗公式：直線公式和拋物線公式。
直線公式
把臨界應力與壓桿的柔度表示成如下的線性關系。
(16-7)
式中a、b是與材料性質有關的系數,可以查相關手冊得到。由式(16-7)可見，臨界應力隨著柔度的減小而增大。
必須指出，直線公式雖然是以的壓桿建立的，但絕不能認為凡是的壓桿都可以應用直線公式。因為當值很小時，按直線公式求得的臨界應力較高，可能早已超過了材料的屈服強度或抗壓強度，這是桿件強度條件所不允許的。因此，只有在臨界應力 不超過屈服強度 (或抗壓強度)時，直線公式才能適用。若以塑性材料為例，它的應用條件可表示為
或
若用表示對應於時的柔度值，則
(16-8)
這里，柔度值是直線公式成立時壓桿柔度的最小值，它僅與材料有關。對Q235鋼來說，MPa，=304MPa，。將這些數值代入式(16-8)，得
當壓桿的柔度值滿足條件時，臨界應力用直線公式計算，這樣的壓桿被稱為中柔度桿或中長桿。
拋物線公式
把臨界應力與柔度的關系表示為如下形式
(16-9)
式中是材料的屈服強度，是與材料性質有關的系數，是歐拉公式與拋物線公式適用范圍的分界柔度，對低碳鋼和低錳鋼
(16-10)
16.4.4 小柔度壓桿
當壓桿的柔度滿足條件時，這樣的壓桿稱為小柔度桿或短粗桿。實驗證明，小柔度桿主要是由於應力達到材料的屈服強度(或抗壓強度)而發生破壞，破壞時很難觀察到失穩現象。這說明小柔度桿是由於強度不足而引起破壞的，應當以材料的屈服強度或抗壓強度作為極限應力，這屬於第二章所研究的受壓直桿的強度計算問題。若形式上也作為穩定問題來考慮，則可將材料的屈服強度 (或抗壓強度)看作臨界應力，即
（或）
16.4.5 臨界應力總圖
綜上所述，壓桿的臨界應力隨著壓桿柔度變化情況可用圖16-13的曲線表示，該曲線是採用直線公式的臨界應力總圖，總圖說明如下：
圖16-13
1)當時，是細長桿，存在材料比例極限內的穩定性問題，臨界應力用歐拉公式計算。
2)當（或）<時，是中長桿，存在超過比例極限的穩定問題，臨界應力用直線公式計算。
3)當（或）時，是短粗桿，不存在穩定性問題，只有強度問題，臨界應力就是屈服強度或抗壓強度。
由圖16-13還可以看到，隨著柔度的增大，壓桿的破壞性質由強度破壞逐漸向失穩破壞轉化。
由式(16-5)和式(16-9)，可以繪出採用拋物線公式時的臨界應力總圖，如圖16-14所示。
圖16-14
16.5 壓桿穩定性計算
從上節可知，對於不同柔度的壓桿總可以計算出它的臨界應力，將臨界應力乘以壓桿橫截面面積，就得到臨界力。值得注意的是，因為臨界力是由壓桿整體變形決定的，局部削弱(如開孔、槽等)對桿件整體變形影響很小，所以計算臨界應力或臨界力時可採用未削弱前的橫截面面積A和慣性矩I。
壓桿的臨界力與壓桿實際承受的軸向壓力F之比值，為壓桿的工作安全系數n，它應該不小於規定的穩定安全系數nst 。因此壓桿的穩定性條件為
(16-11)
由穩定性條件便可對壓桿穩定性進行計算，在工程中主要是穩定性校核。通常,nst規定得比強度安全系數高，原因是一些難以避免的因素(例如壓桿的初彎曲、材料不均勻、壓力偏心以及支座缺陷等)對壓桿穩定性影響遠遠超過對強度的影響。
式(16-11)是用安全系數形式表示的穩定性條件，在工程中還可以用應力形式表示穩定性條件
(a)
其中
(b)
式中為穩定許用應力。由於臨界應力隨壓桿的柔度而變，而且對不同柔度的壓桿又規定不同的穩定安全系數nst ，所以，是柔度的函數。在某些結構設計中，常常把材料的強度許用應力乘以一個小於1的系數作為穩定許用應力，即
(c)
式中稱為折減系數。因為是柔度的函數，所以也是的函數，且總有。幾種常用材料壓桿的折減系數列於表16-3中，引入折減系數後，式(a)可寫為
(16-12)
例16-1 圖16-15為—用20a工字鋼製成的壓桿，材料為Q235鋼，E=200Mpa，=200MPa，壓桿長度=5m，F=200kN 。若nst=2，試校核壓桿的穩定性。
圖16-15
解
(1)計算
由附錄中的型鋼表查得
，，A=35.5cm2。壓桿在i最小的縱向平面內抗彎剛度最小，柔度最大，臨界應力將最小。因而壓桿失穩一定發生在壓桿的縱向平面內
(2)計算臨界應力，校核穩定性
因為，此壓桿屬細長桿，要用歐拉公式來計算臨界應力
所以此壓桿穩定。
例16-2 如圖16-16所示連桿，材料為Q235鋼，其E=200MPa，=200MPa，，承受軸向壓力F=110kN。若nst=3，試校核連桿的穩定性。
圖16-16
解 根據圖16-16中連桿端部約束情況，在xy縱向平面內可視為兩端鉸支；在xz平面內可視為兩端固定約束。又因壓桿為矩形截面，所以。
根據上面的分析，首先應分別算出桿件在兩個平面內的柔度，以判斷此桿將在哪個平面內失穩，然後再根據柔度值選用相應的公式來計算臨界力。
計算
在xy縱向平面內，，z軸為中性軸
在xz縱向平面內，，y軸為中性軸
，。連桿若失穩必發生在xz縱向平面內。
計算臨界力，校核穩定性
,該連桿不屬細長桿，不能用歐拉公式計算其臨界力。這里採用直線公式，查表16-2，Q235鋼的,
，屬中等桿，因此
該連桿穩定。
例16-3 螺旋千斤頂如圖16-17所示。起重絲杠內徑，最大長度。材料為Q235鋼，E=200GPa，，千斤頂起重量F =100kN。若nst＝3.5，試校核絲杠的穩定性。
圖16-17
解
(1) 計算
絲杠可簡化為下端固定，上端自由的壓桿
(2)計算，校核穩定性
，採用拋物線公式計算臨界應力
千斤頂的絲杠穩定。
例16-4 某液壓缸活塞桿承受軸向壓力作用。已知活塞直徑，油壓。活塞桿長度，兩端視為鉸支，材料為碳鋼，，E=210GPa。取，試設計活塞直徑。
解
(1) 計算
活塞桿承受的軸向壓力
活塞桿工作時不失穩所應具有的臨界力值為
設計活塞桿直徑
因為直徑未知，無法求出活塞桿的柔度，不能判定用怎樣的公式計算臨界力。為此，在計算時可先按歐拉公式計算活塞桿直徑，然後再檢查是否滿足歐拉公式的條件
可取，然後檢查是否滿足歐拉公式的條件
由於，所以用歐拉公式計算是正確的。
例16-5 簡易吊車搖臂如圖16-18所示，兩端鉸接的AB桿由鋼管製成，材料為Q235鋼，其強度許用應力，試校核AB桿的穩定性。
圖16-18
解
(1) 求AB桿所受軸向壓力，由平衡方程
，
得
(2) 計算
校核穩定性
據，查表16-3得折減系數,穩定許用應力
AB桿工作應力
,所以AB桿穩定。
例16－6 由壓桿撓曲線的微分方程，導出一端固定，另一端鉸支壓桿的歐拉公式。
解
一端固定、另一端鉸支的壓桿失穩後，計算簡圖如圖16-19所示。為使桿件平衡，上端鉸支座應有橫向反力。於是撓曲線的微分方程為
圖16－19
設，則上式可寫為
以上微分方程的通解為
由此求出v的一階導數為
壓桿的邊界條件為
時，
時，
把以上邊界條件代入及中，可得
這是關於,和的齊次線性方程組。因為,和不能都為零，所以其系數行列式應等於零，即
展開得
上式超越方程可用圖解法求解。以為橫坐標，作直線和曲線（圖16－20），其第一個交點得橫坐標＝4.49顯然是滿足超越方程得最小根。由此求得
圖16－20
16.6 提高壓桿穩定性的措施
通過以上討論可知，影響壓桿穩定性的因素有：壓桿的截面形狀，壓桿的長度、約束條件和材料的性質等。因而，當討論如何提高壓桿的穩定件時，也應從這幾方面入手。
1．選擇合理截面形狀
從歐拉公式可知，截面的慣性I越大，臨界力越高。從經驗公式可知。柔度越小，臨界應力越高。由於，所以提高慣性半徑i的數值就能減小的數值。可見，在不增加壓桿橫截面面積的前提下，應盡可能把材料放在離截面形心較遠處，以取得較大的I和i，提高臨界壓力。例如空心圓環截面要比實心圓截面合理
如果壓桿在過其主軸的兩個縱向平面約束條件相同或相差不大，那麼應採用圓形或正多邊形截面；若約束不同，應採用對兩個主形心軸慣性半徑不等的截面形狀，例如矩形截面或工字形截面，以使壓桿在兩個縱向平面內有相近的柔度值。這樣，在兩個相互垂直的主慣性縱向平面內有接近相同的穩定性。
2．盡量減小壓桿長度
由式(16-4)可知，壓桿的柔度與壓桿的長度成正比。在結構允許的情況下，應盡可能減小壓桿的長度；甚至可改變結構布局，將壓桿改為拉桿(如圖16-21a所示的托架改成圖16-21b的形式)等等。
圖16-21
3．改善約束條件
從本章第三節的討論看出，改變壓桿的支座條件直接影響臨界力的大小。例如長為兩端鉸支的壓桿，其，。若在這一壓桿的中點增加一個中間支座或者把兩端改為固定端(圖16-22)。則相當長度變為，臨界力變為
圖16-22
可見臨界力變為原來的四倍。一般說增加壓桿的約束，使其更不容易發生彎曲變形，都可以提高壓桿的穩定性。
4．合理選擇材料
由歐拉公式(16-5)可知，臨界應力與材料的彈性模量E有關。然而，由於各種鋼材的彈性模量E大致相等，所以對於細長桿，選用優質鋼材或低碳鋼並無很大差別。對於中等桿,無論是根據經驗公式或理論分析，都說明臨界應力與材料的強度有關，優質鋼材在—定程度上可以提高臨界應力的數值。至於短粗桿，本來就是強度問題，選擇優質鋼材自然可以提高其強度。
習 題
16-1 圖示各根壓桿的材料及直徑均相同，試判斷哪一根最容易失穩，哪一根最不容易失穩。
題16-1圖
16-2 圖示壓桿的材料為Q235鋼，在圖a平面內彎曲時兩端為鉸支，在圖b平面內彎曲時兩端為固定，試求其臨界力。
題16-2圖
16-3 圖中所示為某型飛機起落架中承受軸向壓力的斜撐桿。桿為空心圓管，外徑D=52mm內徑d=44mm，。材料為30CrMnSiNi2A，, , E=210GPa。試求斜撐桿的臨界壓力和臨界應力。
題16-3圖
16-4 三根圓截面壓桿，直徑均為d=160mm，材料為Q235鋼，E=200GPa，。兩端均為鉸支，長度分別、和，且，試求各桿的臨界壓力。
16-5 無縫鋼管廠的穿孔頂桿如圖所示。桿端承受壓力。桿長，橫截面直徑d=15cm。材料為低合金鋼，E=210GPa。兩端可簡化為鉸支座，規定的穩定安全系數為。試求頂桿的許可載荷。
題16-5圖 題16-6圖
16-6 由三根鋼管構成的支架如圖所示。鋼管的外徑為30mm，內徑為22mm，長度，E=210GPa。在支架的頂點三桿鉸接。若取穩定安全系數，試求許可載荷F。
16-7 在圖示鉸接桿系ABC中，AB和BC皆為細長壓桿，且截面相同，材料相同。若因在ABC平面內失穩而破壞，並現定，試確定F為最大值時的角。
題16-7圖
16-8 在圖示結構中，AB為圓截面桿，直徑d=80mm，BC桿為正方形截面，邊長a=70mm，兩材料均為Q235鋼，E=210GPa。它們可以各自獨立發生彎曲而互不影響，已知A端固定，B、C為球鉸，l=3m，穩定安全系數。試求此結構的許用載荷。
題16-8圖
16-9 萬能銑床工作台升降絲杠的內徑為22mm，螺距P=5mm。工作台升至最高位置時，。絲桿鋼材的E＝210GPa，,。若傘齒輪的傳動比為1／2，即手輪旋轉一周絲桿旋轉半周，且手輪半徑為10cm，手輪上作用的最大圓周力為200N，試求絲桿的工作安全系數。
題16-9圖 題16-10圖
16-10 蒸汽機車的連桿如圖所示，截面為工字形，材料為Q235鋼。連桿所受最大軸向壓力為465kN。連桿在擺動平面(xy平面)內發生彎曲時，兩端可認為鉸支，在與擺動平面垂直的xz平面內發生彎曲時，兩端可認為是固定支座。試確定其工作安全系數。
16-11 某廠自製的簡易起重機如圖所示，其壓桿BD為20號槽鋼，材料為Q235鋼。起重機的最大起重量是P=40kN。若規定的穩定安全系效為，試校核BD桿的穩定性。
題16-11圖 題16-12圖
16-12 圖示結構中CG為鑄鐵圓桿，直徑d1=100mm，許用壓應力=120MPa。BE為Q235鋼圓桿，直徑d2=50mm，=160MPa，橫梁ABCD視為剛體，試求結構的許可載荷。已知E鐵＝120GPa，E鋼=200GPa。
16-13 圖示結構中AB梁可視為剛體，CD及EG均為細長桿，抗彎剛度均為EI。
因變形微小，故可認為壓桿受力達到後，其承受能力不能再提高。試求結構所受載荷F的極限值Fmax。
題16-13圖
16-14 10號工字梁的C端固定，A端鉸支於空心鋼管AB上。鋼管的內徑和外徑分別為30mm和40mm，B端亦為鉸支。梁及鋼管同為Q235鋼。當重為300N的重物落於粱的A端時，試校核AB桿的穩定性。規定穩定安全系數。
題16-14圖
16-15 兩端固定的管道長為2m，內徑d=30mm，外徑D=40mm。材料為Q235鋼，E＝210GPa，線膨脹系數。若安裝管道時的溫度為，試求不引起管道失穩的最高溫度。
16-16 由壓桿撓曲線的微分方程式，導出一端固定、另一端自由的壓桿的歐拉公式。
16-17 壓桿的—端固定，另一端自由(圖a)。為提高其穩定性，在中點增加支座，如圖b所示。試求加強後壓桿的歐拉公式，並與加強前的壓桿比較。
題16-17圖 題16-18圖
16-18 圖a為萬能機的示意圖，四根立柱的長度為。鋼材的E=210GPa。立柱喪失穩定後的變形曲線如圖b所示。若F的最大值為1000kN，規定的穩定安全系數為，試按穩定條件設計立柱的直徑。
2. 臨界應力的計算公式
臨界應力的計算公式就是歐拉公式：R+ V- E= 2。
3. 高分求材料力學計算題詳細解答
解：
因為λp=π√（E/ σp）=π√【（206×10^9）/（200×10^6）】≈100 屬於細長桿
所以可以根據歐拉公式計算：Pcr=π²EI/（μl ）² 兩端鉸支，取μ =1
所以Pcr=π²EI/（μl ）²=π²×206×10^9×1/32×π×0.16^4/5²=5332KN